B+ 트리
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B+ 트리(B+ Tree)는 B 트리(B-Tree)의 확장된 버전으로, 데이터베이스 및 파일 시스템에서 효율적인 검색 및 범위 쿼리를 수행하는 데 사용된다. B+ 트리는 모든 키를 리프 노드(Leaf Nodes)에 저장하며, 리프 노드끼리는 연결 리스트(Linked List)로 연결되어 있다.
개요[edit | edit source]
B+ 트리는 B 트리와 유사하지만 몇 가지 중요한 차이점이 있다.
- 리프 노드에만 키와 데이터 저장
- 내부 노드(Internal Nodes)는 탐색을 위한 인덱스 역할만 수행하고, 실제 데이터는 리프 노드에 저장된다.
- 리프 노드 연결 리스트
- 리프 노드끼리 연결 리스트(Linked List) 형태로 연결되어 있어 범위 검색(Range Query)이 매우 빠르다.
- 균형 유지
- 모든 리프 노드는 동일한 깊이를 가지며, 항상 균형을 유지한다.
B+ 트리의 속성[edit | edit source]
1. 내부 노드는 키만 저장하며, 실제 데이터는 리프 노드에만 저장된다. 2. 리프 노드는 이중 연결 리스트(Double Linked List) 형태로 연결되어 있다. 3. 각 노드는 최소 ⌈m/2⌉개의 자식과 최대 m개의 자식을 가질 수 있다. 4. 모든 리프 노드는 동일한 깊이에 존재한다. 5. 검색, 삽입, 삭제 연산의 시간 복잡도는 O(log n)이다.
| 속성 | 설명 |
|---|---|
| 키 저장 위치 | 리프 노드에만 저장 |
| 내부 노드
```mediawiki |
인덱스 역할만 수행 |
| 리프 노드 연결 | 연결 리스트로 연결되어 있음 |
| 탐색 성능 | 빠름 (리프 노드에서만 탐색) |
| 범위 검색 | 매우 빠름 (리프 노드 간 연결 이용) |
B+ 트리 vs B 트리[edit | edit source]
B+ 트리와 B 트리는 유사하지만 몇 가지 중요한 차이점이 있다.
| 기준 | B 트리 | B+ 트리 |
|---|---|---|
| 키 저장 위치 | 내부 노드와 리프 노드 | 모든 키가 리프 노드에 저장 |
| 탐색 속도 | 느림 (내부 노드에서도 탐색) | 빠름 (리프 노드에서만 탐색) |
| 범위 검색 | 상대적으로 비효율적 | 빠름 (리프 노드 연결 리스트 사용) |
| 리프 노드 연결 | X | O (이중 연결 리스트) |
B+ 트리 연산[edit | edit source]
1. 삽입 (Insertion)[edit | edit source]
1. 적절한 리프 노드를 찾아 삽입한다.
2. 노드가 초과(m개의 키)되면 중앙 키를 상위 노드로 올리고, 노드를 분할한다.
2. 삭제 (Deletion)[edit | edit source]
1. 삭제 후 노드에 남아 있는 키 개수를 확인한다.
2. 최소 키 개수보다 적으면 형제 노드에서 빌리거나, 병합을 수행한다.
3. 검색 (Search)[edit | edit source]
1. 루트에서 시작하여 적절한 자식 노드를 따라가며 키를 찾는다.
2. O(log n)의 시간 복잡도로 검색 가능하다.
B+ 트리 구현 (Python)[edit | edit source]
class BPlusTreeNode:
def __init__(self, leaf=False):
self.leaf = leaf
self.keys = []
self.children = []
self.next = None # 리프 노드 연결 리스트
class BPlusTree:
def __init__(self, t):
self.root = BPlusTreeNode(True)
self.t = t # 최소 차수
def search(self, node, key):
i = 0
while i < len(node.keys) and key > node.keys[i]:
i += 1
if node.leaf:
if i < len(node.keys) and key == node.keys[i]:
return node
return None
return self.search(node.children[i], key)
def insert(self, key):
root = self.root
if len(root.keys) == (2 * self.t) - 1:
new_root = BPlusTreeNode(False)
new_root.children.append(self.root)
self.split_child(new_root, 0)
self.root = new_root
self.insert_non_full(new_root, key)
else:
self.insert_non_full(root, key)
def insert_non_full(self, node, key):
i = len(node.keys) - 1
if node.leaf:
node.keys.append(None)
while i >= 0 and key < node.keys[i]:
node.keys[i + 1] = node.keys[i]
i -= 1
node.keys[i + 1] = key
else:
while i >= 0 and key < node.keys[i]:
i -= 1
i += 1
if len(node.children[i].keys) == (2 * self.t) - 1:
self.split_child(node, i)
if key > node.keys[i]:
i += 1
self.insert_non_full(node.children[i], key)
def split_child(self, node, i):
t = self.t
y = node.children[i]
z = BPlusTreeNode(y.leaf)
node.keys.insert(i, y.keys[t - 1])
node.children.insert(i + 1, z)
z.keys = y.keys[t:(2 * t - 1)]
y.keys = y.keys[0:(t - 1)]
if not y.leaf:
z.children = y.children[t:(2 * t)]
y.children = y.children[0:t]
if y.leaf:
z.next = y.next
y.next = z
def traverse(self, node):
if node.leaf:
while node:
print(node.keys, end=" → ")
node = node.next
print("None")
else:
for i in range(len(node.keys)):
self.traverse(node.children[i])
self.traverse(node.children[len(node.keys)])
# B+ 트리 테스트
bplustree = BPlusTree(3) # 최소 차수 t = 3
for key in [10, 20, 5, 6, 12, 30, 7, 17]:
bplustree.insert(key)
print("B+ 트리 리프 노드 순회 결과:")
bplustree.traverse(bplustree.root)
print("\n")
같이 보기[edit | edit source]
참고 문헌[edit | edit source]
- Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms. MIT Press.
- GeeksforGeeks - B+ Tree Introduction
